深入浅出算法原理

左移 <<10 <<1 // ->20 左移就是将二进制全部往左移动,10在二进制中标识为1010,左移以为后变成10100,转换为十进制就是20,所以基本可以把左移看成一下公司a * 。

这一篇文章小编主要通过图文结合的形式带大伙了解算法的实现原理,当然让这块也是我们面试经常会被问到的地方。对于大部分公司的面试来说,排序的内容已经足以应付了,由此为了更好的符合大众需求,排序的内容是最多的。当然如果你还想冲击更好的公司,最好是能够将整篇文章好好的阅读和理解。

注意:为了方便大伙手机阅读,文中较长的代码片段会用图片代替!

深入浅出算法原理

位运算

在进入正题之前,我们先来学习一下位运算的内容。因为位运算在算法中很有用,速度可以比四则运算快很多。

在学习位运算之前应该知道十进制如何转二进制,二进制如何转十进制。这里说明下简单的计算方式

  • 十进制33可以看成是32+1,并且33应该是六位二进制的(因为33近似32,而32是2的五次方,所以是六位),那么十进制33就是100001,只要是2的吃饭,那么就是1,否则都是0。
  • 二进制100001同理,首位是2^5,末位是2^0,现价得出33。

左移 <<

10 <<1 // ->20

左移就是将二进制全部往左移动,10在二进制中标识为1010,左移以为后变成10100,转换为十进制就是20,所以基本可以把左移看成一下公司a * (2 ^ b)。

算数右移 >>

10 >>1 // ->5

算数右移就是将二进制全部往右移动并去除多余的右边,10在二进制中表示为1010,右移一位后变成101,转换为十进制就是5,所以基本可以把右移看成一下公式 int v = a / (2 ^ b)。

右移很好用,比如可以用在二分算法中取中间值:

13 >> 1 // ->6

按位操作

1、按位与

每一位都为1,结果才为1。

8 & 7 // ->0
// 1000 & 0111 -> 0000 -> 0

2、按位或

其实一位为1,结果就是1。

8 | 7 // -> 15
// 1000 & 0111 -> 1111 -> 15

2、按位异或

每一位都不用,结果才为1。

8 | 7 // -> 15
8 ^ 8 = 0
//1000 ^ 0111 -> 1111 -> 15
//1000 ^1000 -> 0000 -> 0

从以上代码中可以发现按位异或就是不进位加法。

排序

冒泡排序

原理:从第一个元素开始,把当前元素和下一个索引元素进行比较。如果当前元素大,那么就交换位置,重复操作直到比较到最后一个元素,那么此时最后一个元素就是该数组中最大的数。下一轮重复以上操作,但是此时最后一个元素已经是最大数了,所以不需要再比较最后一个元素,只需要比较到 length - 2 的位置,可以看下面的动态图。

深入浅出算法原理

代码实现:

function bubble(array) {
 checkArray(array);
 for (let i = array.length - 1; i > 0; i--) {
 // 从 0 到 `length - 1` 遍历
 for (let j = 0; j < i; j++) {
 if (array[j] > array[j + 1]) swap(array, j, j + 1)
 }
 }
 return array;
}

该算法的操作次数是一个等差数列 n + (n - 1) + (n - 2) + 1 ,去掉常数项以后得出时间复杂度是 O(n * n)。

插入排序

原理:第一个元素默认是已排序元素,取出下一个元素和当前元素比较,如果当前元素大就交换位置。那么此时第一个元素就是当前的最小数,所以下次取出操作从第三个元素开始,向前对比,重复之前的操作。

深入浅出算法原理

代码实现:

function insertion(array) {
 checkArray(array);
 for (let i = 1; i < array.length; i++) {
 for (let j = i - 1; j >= 0 && array[j] > array[j + 1]; j--)
 swap(array, j, j + 1);
 }
 return array;
}

该算法的操作次数是一个等差数列 n + (n - 1) + (n - 2) + 1 ,去掉常数项以后得出时间复杂度是 O(n * n)。

选择排序

原理:遍历数组,设置最小值的索引为 0,如果取出的值比当前最小值小,就替换最小值索引,遍历完成后,将第一个元素和最小值索引上的值交换。如上操作后,第一个元素就是数组中的最小值,下次遍历就可以从索引 1 开始重复上述操作。

深入浅出算法原理

代码实现:

function selection(array) {
 checkArray(array);
 for (let i = 0; i < array.length - 1; i++) {
 let minIndex = i;
 for (let j = i + 1; j < array.length; j++) {
 minIndex = array[j] < array[minIndex] ? j : minIndex;
 }
 swap(array, i, minIndex);
 }
 return array;
}

该算法的操作次数是一个等差数列 n + (n - 1) + (n - 2) + 1 ,去掉常数项以后得出时间复杂度是 O(n * n)。

归并排序

归并排序的原理如下。递归的将数组两两分开直到最多包含两个元素,然后将数组排序合并,最终合并为排序好的数组。假设我有一组数组 [3, 1, 2, 8, 9, 7, 6],中间数索引是 3,先排序数组 [3, 1, 2, 8] 。在这个左边数组上,继续拆分直到变成数组包含两个元素(如果数组长度是奇数的话,会有一个拆分数组只包含一个元素)。然后排序数组 [3, 1] 和 [2, 8] ,然后再排序数组 [1, 3, 2, 8] ,这样左边数组就排序完成,然后按照以上思路排序右边数组,最后将数组 [1, 2, 3, 8] 和 [6, 7, 9] 排序。

深入浅出算法原理

代码实现:

function sort(array) {
 checkArray(array);
 mergeSort(array, 0, array.length - 1);
 return array;
}
function mergeSort(array, left, right) {
 // 左右索引相同说明已经只有一个数
 if (left === right) return;
 // 等同于 `left + (right - left) / 2`
 // 相比 `(left + right) / 2` 来说更加安全,不会溢出
 // 使用位运算是因为位运算比四则运算快
 let mid = parseInt(left + ((right - left) >> 1));
 mergeSort(array, left, mid);
 mergeSort(array, mid + 1, right);
 let help = [];
 let i = 0;
 let p1 = left;
 let p2 = mid + 1;
 while (p1 <= mid && p2 <= right) {
 help[i++] = array[p1] < array[p2] ? array[p1++] : array[p2++];
 }
 while (p1 <= mid) {
 help[i++] = array[p1++];
 }
 while (p2 <= right) {
 help[i++] = array[p2++];
 }
 for (let i = 0; i < help.length; i++) {
 array[left + i] = help[i];
 }
 return array;
}

以上算法使用了递归的思想。递归的本质就是压栈,每递归执行一次函数,就将该函数的信息(比如参数,内部的变量,执行到的行数)压栈,直到遇到终止条件,然后出栈并继续执行函数。对于以上递归函数的调用轨迹如下:

mergeSort(data, 0, 6) // mid = 3
 mergeSort(data, 0, 3) // mid = 1
 mergeSort(data, 0, 1) // mid = 0
 mergeSort(data, 0, 0) // 遇到终止,回退到上一步
 mergeSort(data, 1, 1) // 遇到终止,回退到上一步
 // 排序 p1 = 0, p2 = mid + 1 = 1
 // 回退到 `mergeSort(data, 0, 3)` 执行下一个递归
 mergeSort(2, 3) // mid = 2
 mergeSort(3, 3) // 遇到终止,回退到上一步
 // 排序 p1 = 2, p2 = mid + 1 = 3
 // 回退到 `mergeSort(data, 0, 3)` 执行合并逻辑
 // 排序 p1 = 0, p2 = mid + 1 = 2
 // 执行完毕回退
 // 左边数组排序完毕,右边也是如上轨迹

该算法的操作次数是可以这样计算:递归了两次,每次数据量是数组的一半,并且最后把整个数组迭代了一次,所以得出表达式 2T(N / 2) + T(N) (T 代表时间,N 代表数据量)。

快排

快排的原理如下。随机选取一个数组中的值作为基准值,从左至右取值与基准值对比大小。比基准值小的放数组左边,大的放右边,对比完成后将基准值和第一个比基准值大的值交换位置。然后将数组以基准值的位置分为两部分,继续递归以上操作。

深入浅出算法原理

代码实现:

function sort(array) {
 checkArray(array);
 quickSort(array, 0, array.length - 1);
 return array;
}
function quickSort(array, left, right) {
 if (left < right) {
 swap(array, , right)
 // 随机取值,然后和末尾交换,这样做比固定取一个位置的复杂度略低
 let indexs = part(array, parseInt(Math.random() * (right - left + 1)) + left, right);
 quickSort(array, left, indexs[0]);
 quickSort(array, indexs[1] + 1, right);
 }
}
function part(array, left, right) {
 let less = left - 1;
 let more = right;
 while (left < more) {
 if (array[left] < array[right]) {
 // 当前值比基准值小,`less` 和 `left` 都加一
	 ++less;
 ++left;
 } else if (array[left] > array[right]) {
 // 当前值比基准值大,将当前值和右边的值交换
 // 并且不改变 `left`,因为当前换过来的值还没有判断过大小
 swap(array, --more, left);
 } else {
 // 和基准值相同,只移动下标
 left++;
 }
 }
 // 将基准值和比基准值大的第一个值交换位置
 // 这样数组就变成 `[比基准值小, 基准值, 比基准值大]`
 swap(array, right, more);
 return [less, more];
}

该算法的复杂度和归并排序是相同的,但是额外空间复杂度比归并排序少,只需 O(logN),并且相比归并排序来说,所需的常数时间也更少。

堆排序

堆排序利用了二叉堆的特性来做,二叉堆通常用数组表示,并且二叉堆是一颗完全二叉树(所有叶节点(最底层的节点)都是从左往右顺序排序,并且其他层的节点都是满的)。二叉堆又分为大根堆与小根堆。

  • 大根堆是某个节点的所有子节点的值都比他小
  • 小根堆是某个节点的所有子节点的值都比他大

堆排序的原理就是组成一个大根堆或者小根堆。以小根堆为例,某个节点的左边子节点索引是 i * 2 + 1,右边是 i * 2 + 2,父节点是 (i - 1) /2。

  1. 首先遍历数组,判断该节点的父节点是否比他小,如果小就交换位置并继续判断,直到他的父节点比他大
  2. 重新以上操作 1,直到数组首位是最大值
  3. 然后将首位和末尾交换位置并将数组长度减一,表示数组末尾已是最大值,不需要再比较大小
  4. 对比左右节点哪个大,然后记住大的节点的索引并且和父节点对比大小,如果子节点大就交换位置
  5. 重复以上操作 3 - 4 直到整个数组都是大根堆。
深入浅出算法原理

代码实现:

function heap(array) {
 checkArray(array);
 // 将最大值交换到首位
 for (let i = 0; i < array.length; i++) {
 heapInsert(array, i);
 }
 let size = array.length;
 // 交换首位和末尾
 swap(array, 0, --size);
 while (size > 0) {
 heapify(array, 0, size);
 swap(array, 0, --size);
 }
 return array;
}
function heapInsert(array, index) {
 // 如果当前节点比父节点大,就交换
 while (array[index] > array[parseInt((index - 1) / 2)]) {
 swap(array, index, parseInt((index - 1) / 2));
 // 将索引变成父节点
 index = parseInt((index - 1) / 2);
 }
}
function heapify(array, index, size) {
 let left = index * 2 + 1;
 while (left < size) {
 // 判断左右节点大小
 let largest =
 left + 1 < size && array[left] < array[left + 1] ? left + 1 : left;
 // 判断子节点和父节点大小
 largest = array[index] < array[largest] ? largest : index;
 if (largest === index) break;
 swap(array, index, largest);
 index = largest;
 left = index * 2 + 1;
 }
}

以上代码实现了小根堆,如果需要实现大根堆,只需要把节点对比反一下就好

系统自带排序实现

每个语言的排序内部实现都是不同的。

对于 JS 来说,数组长度大于 10 会采用快排,否则使用插入排序 源码实现 。选择插入排序是因为虽然时间复杂度很差,但是在数据量很小的情况下和 O(N * logN)相差无几,然而插入排序需要的常数时间很小,所以相对别的排序来说更快。

对于 Java 来说,还会考虑内部的元素的类型。对于存储对象的数组来说,会采用稳定性好的算法。稳定性的意思就是对于相同值来说,相对顺序不能改变。

深入浅出算法原理

链表

反转单向链表

代码实现:

var reverseList = function(head) {
 // 判断下变量边界问题
 if (!head || !head.next) return head
 // 初始设置为空,因为第一个节点反转后就是尾部,尾部节点指向 null
 let pre = null
 let current = head
 let next
 // 判断当前节点是否为空
 // 不为空就先获取当前节点的下一节点
 // 然后把当前节点的 next 设为上一个节点
 // 然后把 current 设为下一个节点,pre 设为当前节点
 while(current) {
 next = current.next
 current.next = pre
 pre = current
 current = next
 }
 return pre
};

二叉树的先序,中序,后序遍历

  1. 先序遍历表示先访问根节点,然后访问左节点,最后访问右节点。
  2. 中序遍历表示先访问左节点,然后访问根节点,最后访问右节点。
  3. 后序遍历表示先访问左节点,然后访问右节点,最后访问根节点。

递归实现

代码实现:

function TreeNode(val) {
 this.val = val;
 this.left = this.right = null;
}
var traversal = function(root) {
 if (root) {
 // 先序
 console.log(root); 
 traversal(root.left);
 // 中序
 // console.log(root); 
 traversal(root.right);
 // 后序
 // console.log(root);
 }
};

对于递归的实现来说,只需要理解每个节点都会被访问三次就明白为什么这样实现了。

非递归实现

非递归实现使用了栈的结构,通过栈的先进后出模拟递归实现。

以下是先序遍历代码实现:

function pre(root) {
 if (root) {
 let stack = [];
 // 先将根节点 push
 stack.push(root);
 // 判断栈中是否为空
 while (stack.length > 0) {
 // 弹出栈顶元素
 root = stack.pop();
 console.log(root);
 // 因为先序遍历是先左后右,栈是先进后出结构
 // 所以先 push 右边再 push 左边
 if (root.right) {
 stack.push(root.right);
 }
 if (root.left) {
 stack.push(root.left);
 }
 }
 }
}

以下是中序遍历代码实现:

function mid(root) {
 if (root) {
 let stack = [];
 // 中序遍历是先左再根最后右
 // 所以首先应该先把最左边节点遍历到底依次 push 进栈
 // 当左边没有节点时,就打印栈顶元素,然后寻找右节点
 // 对于最左边的叶节点来说,可以把它看成是两个 null 节点的父节点
 // 左边打印不出东西就把父节点拿出来打印,然后再看右节点
 while (stack.length > 0 || root) {
 if (root) {
 stack.push(root);
 root = root.left;
 } else {
 root = stack.pop();
 console.log(root);
 root = root.right;
 }
 }
 }
}

以下是后序遍历代码实现,该代码使用了两个栈来实现遍历,相比一个栈的遍历来说要容易理解很多:

function pos(root) {
 if (root) {
 let stack1 = [];
 let stack2 = [];
 // 后序遍历是先左再右最后根
	// 所以对于一个栈来说,应该先 push 根节点
 // 然后 push 右节点,最后 push 左节点
 stack1.push(root);
 while (stack1.length > 0) {
 root = stack1.pop();
 stack2.push(root);
 if (root.left) {
 stack1.push(root.left);
 }
 if (root.right) {
 stack1.push(root.right);
 }
 }
 while (stack2.length > 0) {
 console.log(s2.pop());
 }
 }
}

中序遍历的前驱后继节点

实现这个算法的前提是节点有一个 parent 的指针指向父节点,根节点指向 null 。

深入浅出算法原理

如图所示,该树的中序遍历结果是 4, 2, 5, 1, 6, 3, 7。

前驱节点

对于节点 2 来说,他的前驱节点就是 4 ,按照中序遍历原则,可以得出以下结论:

  • 如果选取的节点的左节点不为空,就找该左节点最右的节点。对于节点 1 来说,他有左节点 2 ,那么节点 2 的最右节点就是 5
  • 如果左节点为空,且目标节点是父节点的右节点,那么前驱节点为父节点。对于节点 5 来说,没有左节点,且是节点 2 的右节点,所以节点 2 是前驱节点
  • 如果左节点为空,且目标节点是父节点的左节点,向上寻找到第一个是父节点的右节点的节点。对于节点 6 来说,没有左节点,且是节点 3 的左节点,所以向上寻找到节点 1 ,发现节点 3 是节点 1 的右节点,所以节点 1 是节点 6 的前驱节点

以下是代码实现:

function predecessor(node) {
 if (!node) return 
 // 结论 1
 if (node.left) {
 return getRight(node.left)
 } else {
 let parent = node.parent
 // 结论 2 3 的判断
 while(parent && parent.right === node) {
 node = parent
 parent = node.parent
 }
 return parent
 }
}
function getRight(node) {
 if (!node) return 
 node = node.right
 while(node) node = node.right
 return node
}

后继节点

对于节点 2 来说,他的后继节点就是 5 ,按照中序遍历原则,可以得出以下结论:

  • 如果有右节点,就找到该右节点的最左节点。对于节点 1 来说,他有右节点 3 ,那么节点 3 的最左节点就是 6
  • 如果没有右节点,就向上遍历直到找到一个节点是父节点的左节点。对于节点 5 来说,没有右节点,就向上寻找到节点 2 ,该节点是父节点 1 的左节点,所以节点 1 是后继节点

以下是代码实现:

function successor(node) {
 if (!node) return 
 // 结论 1
 if (node.right) {
 return getLeft(node.right)
 } else {
 // 结论 2
 let parent = node.parent
 // 判断 parent 为空
 while(parent && parent.left === node) {
 node = parent
 parent = node.parent
 }
 return parent
 }
}
function getLeft(node) {
 if (!node) return 
 node = node.left
 while(node) node = node.left
 return node
}

计算二叉树的深度

代码实现:

var maxDepth = function(root) {
 if (!root) return 0 
 return Math.max(maxDepth(root.left), maxDepth(root.right)) + 1
};

对于该递归函数可以这样理解:一旦没有找到节点就会返回 0,每弹出一次递归函数就会加一,树有三层就会得到3。

动态规划

动态规划背后的基本思想非常简单。就是将一个问题拆分为子问题,一般来说这些子问题都是非常相似的,那么我们可以通过只解决一次每个子问题来达到减少计算量的目的。

一旦得出每个子问题的解,就存储该结果以便下次使用。

斐波那契数列

斐波那契数列就是从 0 和 1 开始,后面的数都是前两个数之和

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89....

那么显然易见,我们可以通过递归的方式来完成求解斐波那契数列

function fib(n) {
 if (n < 2 && n >= 0) return n
 return fib(n - 1) + fib(n - 2)
}
fib(10)

以上代码已经可以完美的解决问题。但是以上解法却存在很严重的性能问题,当 n 越大的时候,需要的时间是指数增长的,这时候就可以通过动态规划来解决这个问题。

动态规划的本质其实就是两点:

  1. 自底向上分解子问题
  2. 通过变量存储已经计算过的解

根据上面两点,我们的斐波那契数列的动态规划思路也就出来了:

  1. 斐波那契数列从 0 和 1 开始,那么这就是这个子问题的最底层
  2. 通过数组来存储每一位所对应的斐波那契数列的值
function fib(n) {
 let array = new Array(n + 1).fill(null)
 array[0] = 0
 array[1] = 1
 for (let i = 2; i <= n; i++) {
 array[i] = array[i - 1] + array[i - 2]
 }
 return array[n]
}
fib(10)

0 - 1背包问题

该问题可以描述为:给定一组物品,每种物品都有自己的重量和价格,在限定的总重量内,我们如何选择,才能使得物品的总价格最高。每个问题只能放入至多一次。

假设我们有以下物品:

深入浅出算法原理

对于一个总容量为 5 的背包来说,我们可以放入重量 2 和 3 的物品来达到背包内的物品总价值最高。

对于这个问题来说,子问题就两个,分别是放物品和不放物品,可以通过以下表格来理解子问题

深入浅出算法原理

直接来分析能放三种物品的情况,也就是最后一行

  • 当容量少于 3 时,只取上一行对应的数据,因为当前容量不能容纳物品 3
  • 当容量 为 3 时,考虑两种情况,分别为放入物品 3 和不放物品 3
  1. 不放物品 3 的情况下,总价值为 10
  2. 放入物品 3 的情况下,总价值为 12,所以应该放入物品 3
  • 当容量 为 4 时,考虑两种情况,分别为放入物品 3 和不放物品 3
  1. 不放物品 3 的情况下,总价值为 10
  2. 放入物品 3 的情况下,和放入物品 1 的价值相加,得出总价值为 15,所以应该放入物品 3
  • 当容量 为 5 时,考虑两种情况,分别为放入物品 3 和不放物品 3
  1. 不放物品 3 的情况下,总价值为 10
  2. 放入物品 3 的情况下,和放入物品 2 的价值相加,得出总价值为 19,所以应该放入物品 3

以下代码对照上表更容易理解:

深入浅出算法原理

小结

以上就是本篇文章的主要内容,其中排序算法为重点,也是面试中的加分项,大伙可以重点去阅读和实践。现在很多框架的实现也离不开算法,比如vue和react的虚拟Dom,所以如果我们想要在IT领域更上一次楼,算法是必学的一个科目。

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